完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

若2ⁿ-1是素数,则数2^n-1[[]2ⁿ-1] (1)是完全数。

两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数. 完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.

6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2 ....

2^n-1(2ⁿ-1)=1+2+3+...+(2ⁿ-1)=(2ⁿ-1)2ⁿ/2

把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),

2²(2³-1)=28=1³+3³ 2⁴(2⁵-1)=496=1³+3³+5³+7³

2⁶(2⁷-1)=8128=1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³ .... 2^n-1(2ⁿ-1)=1³+3³+5³+...+(2^(n+1)/2-1)³

除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如:

1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....

完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾,看看它们的二进制表达式吧:

110 11100 111110000 1111111000000 ....

数论里有一个著名的函数σ(n),表示自然数n的所有因子之和,包括因子n本身在内.于是利用σ(n),完全数可以定义为使得σ(n)=2n的数.我们来推导一下完全数的表达式.

假设n=p₁^a1p₂^a2...p_n^an 是n的标准素因子分解式.那么n的所有因子之和是如下式子的乘积σ(n)=(1+p₁+p₁²+...+p₁^a1)(1+p₂+p₂²+...+p₂^a2)...(1+p_n+p_n²+...+p_n^an)而这个乘积就是如下式子:

σ(n)=(p₁^a1+1-1)/(p₁-1)(p₂^a2+1-1)/(p₂-1)...(p_n^an+1-1)/(p_n-1) (2)

设偶完全数 n=2^aq,这里q表示奇素数乘幂之积.设s是q的一切除数之和,也包括q本身在内,而d只是表示它的真除数之和,所以 s=q+d,有公式(2)知道,2^a的一切除数之和为(2^a+1-1)/(2-1)=(2^a+1-1).因此n的全部除数之和等于s(2^a+1-1),而有完全数的定义,知道这个和数应该等于2n,即有:

2n=2^a+1q=s(2^a+1-1)=(q+d)(2^a+1-1)

这意味着d是q的一个真除数,但是前面又知道d是q的一切真除数之和,因而d只能是q的唯一的真除数,于是d的唯一可能值是1,而若一个数的真除数之和为1,则该数必然是一个素数,所以q=(2^a+1-1)是一个素数,最后得到 n=2^aq=2^a(2^a+1-1).这就是偶完全数的表达式,即公式(1).

注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.

数学知识――最完美的数