数学知识――化圆为方问题:穷竭法的提出

作者:   来源:   上传时间:2005-07-08

化圆为方问题(problem of quadrature of circle)是二千四百多年前古希腊 人提出的三大几何作图问题之一,即求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。其难度 在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺(没有刻度,只能作直线的 尺)和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯,他因「不敬神」的罪名被捕入狱,在狱中 潜心研究化圆为方问题,可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰 、希皮亚斯等人。


标尺作图问题曾吸引许多人研究,但无一成功。化圆为方问题,实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。1882年法国数学家林 德曼(1852-1939)证明了π是超越数,同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位,则标尺可作的线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段,但√π并非代数数,故此标尺不可作。


二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功,但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的「穷竭法」,是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形(或正6边形),然后每次将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信「最后」的正多边形必与圆周重合, 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米得计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。


其实,若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家达芬奇(1452-1519)用已知圆为底,圆半径的1卅2为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积。


所以所得矩形的面积=r卅2.2πr=π2 ,然后再将矩形化为等积的正方形即可。


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